[2]史宁中，孔凡哲，李淑文.课程难度模型：我国义务教育几何课程难度的对比[J].东北师大学报:哲学社会科学版，2005，(6)：151-155.

[3]李淑，史宁中.中日两国初中几何课程难度的比较研究[D].长春:东北师范大学,2006.

[4]蔡庆有，邝孔秀,宋乃庆.小学数学教材难度模型研究[J].教育学报，2013,(10):97-105.

[5]鲍建生.中英两国初中数学期望课程综合难度的比较[J].全球教育展望，2002,(9):48-52.

[6]Nohara，D.A comparison of the National Assessment of Educational Progress(NAEP)，the Third International Mathematics and Science Study Repeat (TIMSS-R)，and the Programme for International Assessment (PISA).NECS Working.

[7]Rodica Chiran，Mihaela-Ada textbook(grade 4).Bucharest:Aramis publishing house,2014.

一、难度模型介绍本研究运用了鲍建生的课程难度模型，他对Nohara（2001）的综合难度模型进行了细微的修正，适合目前的中、罗研究教材的对比。模型包括“背景、探究、运算、推理及知识点含量”等五个纬度，正如图1所示。图1 小学数学综合难度模型而对于上述5个难度因素，划分为以下几个层次：各个水平的划分界定如下：无实际背景：习题为纯数学题目，不涉及任何的实际背景。个人生活：与学生家庭、学校等社会生活密切相关的习题。公共常识：与学生生活联系不大，但是与社会生活、历史现象等存在关系的习题。科学背景：与学生生活相距遥远，但是与人类科技发展或者自然现象、考古发现、天文科学、体育竞技等有关的习题。识记：表示该题目只需记忆相关概念或者规律，不需要其他的技能就可以正确作答，是学习的最初级水平。理解：只要学生理解概念、规律或某个知识点，就能够正确完成题目。运用：要求灵活运用所学的概念、规律，解决题目，该题目可能有相关的应用背景，也可能没有。探究：该类题目除了要求学生理解运用所学知识以外，还要能够进行发散思维，提出某些有价值的问题，或者进行有意义的思考。该类题一般是开放型题目，没有固定的答案或模式。无运算：不涉及运算，例如，读数、写数或者列算式不求解等类题目。简单运算：运算符号在两个或以内的，或者口算等。复杂运算：运算符号在3个及以上，或者是有简单的一元一次方程的计算。高难度运算：涉及简便运算、多个符号运算，或类似于二元或多元一次方程的运算等。无推理：该类题目不涉及推理，如纯计算类题目。简单推理：只需一步推理就可以找到问题解决的办法或者列出算式。复杂推理：两步推理才能找到解决问题的途径。高难度推理：三步及以上推理才能列出算式或者找到问题的解决办法。如中国习题里面的鸡兔同笼问题等。知识点含量方面不需要多做解释。在统计题量时，按照以下标准：1.中国教材大题用1，2，3……编号，小题用（1），（2），（3）……编号。题量按照小题个数计算，而在小题层级上出现更多层级的问题，仍按一题计数，大题一题多问，无标号，按照问题的个数计算。2.罗马尼亚教材大题用1，2，3……编号，小题用（a），（b），（c）……编号，类似于中国的（1），（2），（3）……在此用同样的划分标准计数。本研究中只统计中国教材课后练习题和复习题，此类习题只用于课后作业或者家庭作业，具有像“练习一”或者“整理与复习”等这样的标题，不包括例题，课堂练习“做一做”等；罗马尼亚的数学教材只统计“Exercitii”及“sunt Campion”，不包含有“Aplic”标题的课堂练习以及例题。难度的衡量通过以下计算公式：其中，di（i=1，2，3，4，5）依次表示“背景”“探究”“运算”“推理”和“知识点含量”5个难度因素上的取值，dij表示第i个难度因素的第j个水平的权重，这里依据难度水平，权重取值分别是1，2，3，4；nij为第i个难度因素中第j个水平的题目的个数；nij的总和为该组所有题目的个数。二、两国教材的难度系数对比根据以上划分标准和难度计算公式，对两国教材的习题逐一鉴定，得到下面的量化指标表：表1 中、罗教材课后习题各难度因素的量化指标下面对5个难度因素分别进行比较，然后进行难度综合分析。背景水平方面统计显示，中、罗教材中，不涉及实际背景的习题分别是73%和74%；与“日常生活相关”类习题分别占14%和22%；属于“职业及公共常识”类题目分别占6%和4%；属于“科学情景”类的习题分别占6%和1%。中、罗两国教材在背景纬度上，总体差异不大。在“日常生活相关”中，中国教材低于罗马尼亚教材8个百分点，而在“公共常识”和“科学情景”方面高于罗马尼亚教材2个和5个百分点。由此可知，中国的数学教材跟科学类知识的联系更为深刻，而罗马尼亚教材更贴近学生日常生活。中国与罗马尼亚教材，在“背景”纬度难度系数分别为1.46和1.32。探究水平统计显示，中国与罗马尼亚教材在识记类的题目上占比分别是4%和14%，在“理解”类题目上，占比分别是41%和39%；在“运用”类题目上，分别是49%和44%；在“探究”类题目上分别是5%和3%。可以看出，罗马尼亚在知识的掌握方面，要求达到“识记”水平的相对较多，比中国多了10个百分点；在“理解”类、“运用”类和“探究”类题目上，占百分比都比中国教材低，分别低了2个、5个和2个百分点。由此可以看出，在探究纬度上，中国教材要求较高。中国与罗马尼亚教材，在“探究”纬度难度系数分别为2.55和2.35。运算统计显示，中、罗教材不要求运算的题目占比分别是41%和34%；“简单运算”类题目分别是51%和44%；“复杂运算”类题目，中国教材占比7%，罗马尼亚教材占比20%；“高难度计算”类题目，中、罗教材占比分别是1%和2%。可以看出，运算难度不高的习题，中国教材偏多，相对复杂的习题，罗马尼亚教材占比较多。但是，需要注意的是，罗马尼亚教材在小学四年级已经涉及了简单的一元一次方程，而中国的有关方程的运算在中学阶段才会学习。但是对于方程类习题的界定，被划分到“复杂计算”里面，这就抬高了罗马尼亚运算的难度指标。中国与罗马尼亚教材，在“运算”纬度难度系数分别为1.69和1.89。推理统计显示，不需要推理的题目，中国和罗马尼亚教材的占比分别是53%和58%；简单的推理题目，中、罗教材的占比分别是35%和31%；复杂推理类题目，在中、罗教材分别占比9%和10%；高难度推理题目，在中、罗教材分别占比3%和1%。可以看出，不含推理的题目，罗马尼亚教材较低；简单推理类题目，罗马尼亚教材较中国教材多4个百分点；复杂推理类题目，在两国教材中占比相当；在高难度推理类题目上，中国教材占比稍高。也就是说，罗马尼亚教材对简单推理的要求比中国教材高，而中国教材在高难度推理上着墨更多。中国与罗马尼亚教材，在“推理”纬度难度系数分别为1.61和1.54。知识点含量统计显示，中国、罗马尼亚两国的教材，几乎所有题目的知识点含量都不超过3个。一个知识点的题目，中、罗都分别占了86%，两个知识点的题目含量均为14%。但是，值得注意的是，两国教材总的知识点含量差别很大，中国教材上下两册总共涵盖了38个知识点，而罗马尼亚总共8个知识点。所以可以看出，罗马尼亚教材练习仅仅在小的范围内反复。以上五个方面，分别刻画了中、罗教材在各个纬度的难度情况，然而难度的衡量不能由单方面来描述，因此本研究依据各个纬度的难度量化指标，给出了刻画两国教材习题综合难度的雷达图：由左图可以看出，除运算纬度，因为内容安排或是说计算难度水平的划分引起的偏差，导致罗马尼亚教材水平偏高于中国教材之外，中国教材在“背景”“探 究”“推 理”“知识点含量”等方面高于或等于罗马尼亚教材的难度水平。图2 中、罗教材中练习题综合难度的比较三、结论本研究以中国与罗马尼亚小学四年级为样本，从教材的“背景”“探究”“运算”“推理”“知识点含量”5个纬度进行比较，得出了一些结果，汇总如下。1.样本教材在知识点的总含量上，中国教材远远多于罗马尼亚教材。2.样本在难度上，由于教材内容安排的原因，罗马尼亚教材题目除在“运算”纬度上高于中国教材，在其他的四个纬度上都不高于中国教材。因此，除去编排因素，中国样本教材综合难度高于罗马尼亚教材。需要说明的是，教材难度比较的方法不一而足，总是存在这样或那样的问题。本研究也不例外，会对研究的过程和方法产生影响。例如：综合难度5个纬度的划分不够全面。例如，一些的实际操作，如要求空间想象或考查动手能力类的题目，很难涵盖到这五个纬度的划分中；在每一个难度因素水平的划分方面，不可避免地会带有某些主观性，如在“背景”纬度的各个水平的划分方面，某些题目是该归属于“公共常识”水平还是归属于“科学知识”水平，很难界定，只能靠研究者的主观判断；在每个难度水平的权重分配上，带有一定的主观性，例如，知识点含量为2的题目，其难度的权重分配为2，知识点含量为1的题目，其难度权重为1，但是前者在难度上一定是后者的2倍吗？这里没有一个客观的标准；模型在体现整个教材的总体难度上，有一定的缺陷，例如，在“知识点含量”方面，我们得到的是每一道题目的知识点含量，而从不考虑他们是否重复，如果整个教材只有有限的几个知识点，极端情况：一个知识点，在200道题目中重复训练；而另一本教材，20个知识点，在200道题目中出现，每次只考查一个知识点，那么测量到的在“知识点含量”方面，难度是一样的，但是事实上，我们可以看出，后者难度明显偏高。因此，我们希望上述这些方面能够引起研究者的注意，对模型进行适当的改进，更全面、客观地反映两国教材的难度差异。参考文献：[1]卢江，杨刚.义务教育课程标准实验教科书 数学（四年级）[M].北京：人民教育出版社,2016.[2]史宁中，孔凡哲，李淑文.课程难度模型：我国义务教育几何课程难度的对比[J].东北师大学报:哲学社会科学版，2005，(6)：151-155.[3]李淑，史宁中.中日两国初中几何课程难度的比较研究[D].长春:东北师范大学,2006.[4]蔡庆有，邝孔秀,宋乃庆.小学数学教材难度模型研究[J].教育学报，2013,(10):97-105.[5]鲍建生.中英两国初中数学期望课程综合难度的比较[J].全球教育展望，2002,(9):48-52.[6]Nohara，D.A comparison of the National Assessment of Educational Progress(NAEP)，the Third International Mathematics and Science Study Repeat (TIMSS-R)，and the Programme for International Assessment (PISA).NECS Working.[7]Rodica Chiran，Mihaela-Ada textbook(grade 4).Bucharest:Aramis publishing house,2014.

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